自然对数底数$e$
前言
¶$e$ 是一个很神奇的常数，长期以来我只知道它是一个很重要的对数底数。以它为底的对数被称为自然对数，它有一个很重要的性质：对数函数 $\log_a(x)$ 的导数为 $\displaystyle \frac{1}{x\ln a}$，幂函数 $y=a^x$ 的导数为 $a^x\ln a$。[1] 也就是说所有对数函数和幂函数的导数都与 $e$ 有关。
为了理解它为什么被称为自然对数，翻阅了一些网上的资料，发现不少都拿银行的复利来举例；此外 $e$ 还与对数螺旋线有关。如果你只是对 $e$ 为什么被称为自然对数感兴趣，推荐直接阅读下面两篇文章，本文更多的是记录一些和 $e$ 相关的数学式子和证明：
$e$ 的由来
¶$e$ 有两种表示法：
$\displaystyle e = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$.
这种表示方式正是 $e$ 的定义[2]
$\displaystyle e = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{i!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots$.
这是 $e^x$ 的麦克劳林级数在 $x=1$ 时的值。[3]
$e$ 的第一种表示方法与复利率模型有关。在介绍复利率之前，我们先看一下指数增长模型。
假设某种细菌每天分裂一次，那么 $x$ 天后，一个细菌将会繁殖总数为（假设这些天里没有细菌死亡）$2^x$ 的菌落。这是一个经典的指数增长模型，无论初始时有多少细菌，在 $x$ 天后的总数量是初始时的 $2^x$ 倍，它的数学表达为：
上式中隐含的是增长率为 $100\%$ 时，$x$ 天后的总数量是初始时的 $Q$ 倍。更宽泛地，记增长率为 $r$，则有：
表示在一个增长周期内的增长率为 $r$ （增加了 $r$ 倍），则在增长了 $x$ 个周期后，总数量将为初始时的 $Q$ 倍。
复利率法是一种计算利息的方法，按照指的是某段时间后利息也能产生利息。它和上文提到的细菌分裂有些类似，只不过复利率可以是小数：
现在在一家年利率为 $100\%$ 的银行存入了一元钱，银行每季度支付一次利息，这样一年可取四次利息，总计能获得一元的利息，手上的钱变成了两元。聪明的你在每次获得利息后转手又存入银行，则一年后手上的钱变为：
虽然年利率没有改变，但因为结算的周期变短了，使得最后拿到手的钱变多了。贪心的你开始思考如果银行交付的周期变成无限小，那拿到手的钱会不会变成无穷多呢？不妨记银行一年支付利息 $x$ 次，则每次的利率为 $\displaystyle \frac{100\%}{x}$，当 $x$ 趋于无穷时，结合 $e$ 的第一种表示法可知，一年后到手的钱为：
$e$ 是一个无理数
¶可以用反证法来证明。若 $e$ 是一个有理数，不妨记它为 $\displaystyle e = \frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数。我们可以取一个正整数 $n$，并在等式两次同乘以 $b \cdot n!$：
显然，等式右侧是一个正整数。现在观察等式的左侧，根据前文 $e$ 的第二个表式法
有：
等式右侧的第一项显然是个整数，现在继续观察第二项，令
则当 $n$ 取一个大于 $b$ 的整数时，有： $0 < \epsilon < 1$，即第二项不为整数，即式 $\eqref{eq-2}$ 不成立，故原假设矛盾，$e$ 不可能为有理数，所以 $e$ 是一个无理数。
欧拉方程
¶谈到自然对数 $e$，就不得不提起大名鼎鼎的欧拉方程[4]了：
特别地，当取 $x=\pi$ 时，有：
初次见到它还是在大一时的一门选修课上，由于它实在是太优美了，以至于自初见起便一直念念不忘。它包含了数学上最奇妙的几个常数：
$e$: 自然对数的底数
$i$: 复数的单位，凭借一己之力表达了整个复数域（以实数作为系数）
$\pi$: 圆周率（$\pi$ 是我学到的第一个无理数）
$0$: 零是数学上极为重要的数字，它拥有许多性质：
$1$: 一也是一个重要的数字，它同样拥有很多性质：
几个重要的极限和无穷量
¶$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \ln(1+x) = \lim_{x \rightarrow 0} x$ （墨卡托级数）
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( a^x - 1 \right) = \lim_{x \rightarrow 0} x\ln a$
节选自湖南大学《大学数学1》第三版 $\;P_{70}$令 $y=a^x - 1$，则 $x \rightarrow 0$ 时，$y \rightarrow 0$，且 $\displaystyle x = \log_a (1+y) = \frac{\ln (1 + y)}{\ln a}$，故：
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x\ln a} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{y}{\ln (1 + y)} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (1 + y)^{\frac{1}{y}}} = \frac{1}{\ln e} = 1$$即
$$\lim_{x \rightarrow 0} \left( a^x - 1 \right) = \lim_{x \rightarrow 0} x\ln a$$【证毕】
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