函数的极限 | guanghechen

定义
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设 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A, \forall ϵ > 0, \exists δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，有 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么常数 $A$ 称为函数 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时的极限，记作：
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = A 或 f (x) \to A （当 x \to x_{0} ）$
- 如果存在常数 $A, \forall ϵ > 0, \exists δ > 0$ ，当 $- δ < x - x_{0} < 0$ 时，有 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么常数 $A$ 称为函数 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}^{-}$ 时的左极限，记作：
  $f (x_{0}^{-}) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A$
- 如果存在常数 $A, \forall ϵ > 0, \exists δ > 0$ ，当 $0 < x - x_{0} < δ$ 时，有 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么常数 $A$ 称为函数 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}^{+}$ 时的右极限，记作：
  $f (x_{0}^{+}) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A$
- 右极限和左极限统称为单侧极限，若函数在 $x_{0}$ 处存在极限，则有：
  $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A$
设函数 $f (x)$ 当 $| x |$ 大于某一正数时有定义，如果存在常数 $A, \forall ϵ > 0, \exists X > 0$ ，当 $| x | > X$ 时，有 $| f (x) - A | < ϵ$ ，那么常数 $A$ 称为函数 $f (x)$ 在 $x \to \infty$ 时的极限，记作：
$lim_{x \to \infty} f (x) = A 或 f (x) \to A （当 x \to \infty ）$

定理
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函数极限的唯一性：
如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在，那么此极限值唯一.
函数极限的局部有界性：
如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在，那么存在常数 $M > 0$ 和 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，有 $| f (x) | ⩽ M$ .
函数极限的局部保号性：
如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，且 $A > 0$ （或 $A < 0$ ），那么存在 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，有 $f (x) > 0$ （或 $f (x) < 0$ ）.
取 $ϵ = \frac{A}{2}$ 即可证明.
函数极限与数列极限的关系：
若极限 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在， ${x_{n}}$ 为函数 $f (x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_{0}$ 的数列，且满足 $x_{n} \neq x_{0} (n \in N_{+})$ ，那么相应的函数值数列 ${f (x_{n})}$ 比收敛，即
$lim_{n \to \infty} f (x) = lim_{x \to x_{0}} f (x)$

推论
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当 $x \to x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 有没有极限与 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}$ 处有没有定义无关。
如果 $f (x_{0}^{-})$ 、 $f (x_{0}^{+})$ 中有一个不存在，或两个都存在但不相等，则 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 不存在
如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A (A \neq 0)$ ，那么存在 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，有 $| f (x) | > \frac{| A |}{2}$ .
如果存在 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时， $f (x) ⩾ 0$ （或 $f (x) ⩽ 0$ ），且 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，那么 $A ⩾ 0$ （或 $A ⩽ 0$ ）.

栗子
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证明 $lim_{x \to x_{0}} x = x_{0}$ .
记 $f (x) = x, A = x_{0}$ ，
对于 $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，要使
$| f (x) - A | = | x - x_{0} | < ϵ$
成立，只需取 $δ = ϵ$ ；则当 $0 < | x - x_{0} | < δ = ϵ$ 时，有 $| f (x) - A | = | x - x_{0} | < ϵ$ .
故 $lim_{x \to x_{0}} x = A = x_{0}$ .
证明 $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2$ .
记 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, A = 2, x_{0} = 1$ .
对于 $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，要使
$| f (x) - A | = | \frac{x^{2} - 1}{x - 1} - 2 | = | x + 1 - 2 | = | x - 1 | < ϵ$
成立，只需取 $δ = ϵ$ ；则当 $0 < | x - x_{0} | = | x - 1 | < δ = ϵ$ 时，有 $| f (x) - A | = | x - 1 | < ϵ$ .
故 $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = A = 2$ .
证明函数 $f (x) = {\begin{aligned} (1) & 4 x - 1, & x < 1, \\ (2) & 0, & x = 1, \\ (3) & \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, & x > 1. \end{aligned}$ ，当 $x \to 1$ 时极限不存在
因为 $f (1^{-}) = lim_{x \to 1^{-}} 4 x - 1 = 4 - 1 = 3$ ，而 $f (1^{+}) = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 = 2$ ，
所以 $f (1^{-}) \neq f (1^{+})$ ，故极限 $lim_{x \to 1} f (x)$ 不存在.
证明 $lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ .
记 $f (x) = \frac{1}{x}, A = 0$ .
对于 $\forall ϵ > 0, \exists X > 0$ ，当 $| x | > X$ 时，要使
$| f (x) - A | = | \frac{1}{x} - 0 | = \frac{1}{| x |} < ϵ$
成立，只需取 $X = \frac{1}{ϵ}$ ；则当 $| x | > X = \frac{1}{ϵ}$ 时，有 $| f (x) - A | = \frac{1}{| x |} < ϵ$ .
故 $lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = A = 0$ .

定义¶

定理¶

推论¶

栗子¶

定义
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定理
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推论
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栗子
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