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🔖 math函数极限自然对数

前言

e 是一个很神奇的常数,长期以来我只知道它是一个很重要的对数底数。以它为底的对数被称为自然对数,它有一个很重要的性质:对数函数 \log_a(x) 的导数为 \displaystyle \frac{1}{x\ln a},幂函数 y=a^x 的导数为 a^x\ln a[1] 也就是说所有对数函数和幂函数的导数都与 e 有关。

为了理解它为什么被称为自然对数,翻阅了一些网上的资料,发现不少都拿银行的复利来举例;此外 e 还与对数螺旋线有关。如果你只是对 e 为什么被称为自然对数感兴趣,推荐直接阅读下面两篇文章,本文更多的是记录一些和 e 相关的数学式子和证明:

e 的由来

e 有两种表示法:

  • \displaystyle e = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.

    这种表示方式正是 e 的定义[2]

  • \displaystyle e = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{i!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots.

    这是 e^x 的麦克劳林级数在 x=1 时的值。[3]


e 的第一种表示方法与复利率模型有关。在介绍复利率之前,我们先看一下指数增长模型。

指数增长模型

假设某种细菌每天分裂一次,那么 x 天后,一个细菌将会繁殖总数为(假设这些天里没有细菌死亡)2^x 的菌落。这是一个经典的指数增长模型,无论初始时有多少细菌,在 x 天后的总数量是初始时的 2^x 倍,它的数学表达为:

Q = 2^x = (1 + 1)^x = (1 + 100\%)^x

上式中隐含的是增长率为 100\% 时,x 天后的总数量是初始时的 Q 倍。更宽泛地,记增长率为 r,则有:

Q = (1 + r)^x

表示在一个增长周期内的增长率为 r (增加了 r 倍),则在增长了 x 个周期后,总数量将为初始时的 Q 倍。

复利率法是一种计算利息的方法,按照指的是某段时间后利息也能产生利息。它和上文提到的细菌分裂有些类似,只不过复利率可以是小数:

复利率模型

现在在一家年利率为 100\% 的银行存入了一元钱,银行每季度支付一次利息,这样一年可取四次利息,总计能获得一元的利息,手上的钱变成了两元。聪明的你在每次获得利息后转手又存入银行,则一年后手上的钱变为:

Q = \left( 1 + \frac{100\%}{4} \right)^4 = 2.4414

虽然年利率没有改变,但因为结算的周期变短了,使得最后拿到手的钱变多了。贪心的你开始思考如果银行交付的周期变成无限小,那拿到手的钱会不会变成无穷多呢?不妨记银行一年支付利息 x 次,则每次的利率为 \displaystyle \frac{100\%}{x},当 x 趋于无穷时,结合 e 的第一种表示法可知,一年后到手的钱为:

Q = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 1 + \frac{100\%}{x} \right)^x = e

e 是一个无理数

可以用反证法来证明。若 e 是一个有理数,不妨记它为 \displaystyle e = \frac{b}{a},其中 ab 都是正整数。我们可以取一个正整数 n,并在等式两次同乘以 b \cdot n!

e \cdot b \cdot n!= \frac{a}{b} \cdot b \cdot n! = a \cdot n!

显然,等式右侧是一个正整数。现在观察等式的左侧,根据前文 e 的第二个表式法

e = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{i!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots

有:

\begin{aligned} b \cdot n! \cdot e &= b \cdot n! \cdot \left( \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{i!} \right) \\ &= b \cdot n! \cdot \left(1 + \frac{1}{1!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \\ &\quad + b \cdot \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2)} + \cdots \right) \\ \end{aligned} \label{eq-2} \tag{2}

等式右侧的第一项显然是个整数,现在继续观察第二项,令

\begin{aligned} 0 < \epsilon &= b \cdot \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2)} + \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)} + \cdots \right) \\ &< b \cdot \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots \right) \\ &= b \cdot \left( \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{n+1}\right)^{+\infty}}{1 - \frac{1}{n+1}} \right) \\ &= b \cdot \left( \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n+1}} \right) = b \cdot \frac{1}{n} \\ \end{aligned}

则当 n 取一个大于 b 的整数时,有: 0 < \epsilon < 1,即第二项不为整数,即式 \eqref{eq-2} 不成立,故原假设矛盾,e 不可能为有理数,所以 e 是一个无理数。

欧拉方程

谈到自然对数 e,就不得不提起大名鼎鼎的欧拉方程[4]了:

e^{ix} = \cos x + \sin x

特别地,当取 x=\pi 时,有:

e^{i\pi} + 1= 0

初次见到它还是在大一时的一门选修课上,由于它实在是太优美了,以至于自初见起便一直念念不忘。它包含了数学上最奇妙的几个常数:

  • e: 自然对数的底数

  • i: 复数的单位,凭借一己之力表达了整个复数域(以实数作为系数)

  • \pi: 圆周率(\pi 是我学到的第一个无理数)

  • 0: 零是数学上极为重要的数字,它拥有许多性质:

    • 0 是唯一可以作为无穷小量的常数
    • 0 是唯一既非正也非负的实数,0 的相反数和绝对值都是其本身
    • 0 是唯一找不到复数 w 使得 e^w = z 的复数 z
    • 0 在概率上代表不可能事件
    • 0 是多个重要数列的项,如佩尔数斐波那契数高斯整数
    • 0 是加减法运算的零元:任何数字和零做加减法运算都得到它本身
    • 0 乘任何数都得到 0
    • 0 是任何数的倍数,0 除任何数都得到 0
    • 0 不能作为除数,也不能作为对数的底,它没有倒数
    • ...
  • 1: 一也是一个重要的数字,它同样拥有很多性质:

    • 1 是第一个幸运数
    • 1 是第一个快乐数
    • 1 在概率上代表必然事件
    • 1 是乘除法运算的零元:任何数字和一做乘除法运算都得到它本身
    • 1 是唯一不能作为对数的底的正数
    • ...

几个重要的极限和无穷量

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \ln(1+x) = \lim_{x \rightarrow 0} x (墨卡托级数)

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( a^x - 1 \right) = \lim_{x \rightarrow 0} x\ln a

    节选自湖南大学《大学数学1》第三版 \;P_{70}

    y=a^x - 1,则 x \rightarrow 0 时,y \rightarrow 0,且 \displaystyle x = \log_a (1+y) = \frac{\ln (1 + y)}{\ln a},故:

    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x\ln a} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{y}{\ln (1 + y)} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (1 + y)^{\frac{1}{y}}} = \frac{1}{\ln e} = 1

    \lim_{x \rightarrow 0} \left( a^x - 1 \right) = \lim_{x \rightarrow 0} x\ln a

    【证毕】

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